ANA3 (MAT) Analiza 3

Uvod: Diferencialna enačba prvega reda, fazni prostor, vektorska polja na faznem prostoru, integralne krivulje vektorskih polj. Osnovni primeri diferencialnih enačb. Prvi integral enačbe. Parametrično reševanje in singularne rešitve. Clairautova enačba. Primeri uporabe.

Obstoj rešitev in njihova odvisnost od začetnih pogojev. Splošna rešitev. Tok navadne diferencialne enačbe prvega reda.

Sistemi linearnih diferencialnih enačb prvega reda. Linearizacija v okolici rešitve. Tok homogenega sistema linearnih enačb. Liouvilleova formula. Reševanje sistemov s konstantnimi koeficienti. Reševanje linearne enačbe višjega reda s konstantnimi koeficienti. Vsiljeno oziroma dušeno nihanje. Singularne točke linearnega sistema. Osnove teorije stabilnosti.

Variacijski račun. Nekaj primerov variacijske naloge. Pojem Banachovega prostora. Linearni operatorji med Banachovimi prostori. Odvod operatorja med Banachovima prostoroma. Stacionarne točke funkcionala. Osnovni izrek variacijskega računa. Euler-Lagrangejeva enačba in njeno reševanje. Legendrova transformacija in kanonski sistem. Naloga s prostima krajiščema. Izoperimetrična naloga. Lagrangejeva naloga.